1922年9月22日，杨振宁出生于安徽合肥。按照中国传统，这位物理学大师将在2021年9月的农历诞辰100周年。杨振宁22岁赴美留学，32岁合着《杨-米尔斯规范场”理论与罗伯特米尔斯。 35岁时，他和李政道因奇偶不守恒理论获得诺贝尔物理学奖。 81岁时，他正式回国。成为清华大学全职教授。他与麦克斯韦、爱因斯坦、费米、陈省身等大师一起，在纠缠、分离和整合中书写了当代数学和物理学不断发展的传奇。

杨振宁2008年的这篇演讲，展现了百年来数理物理的分离与融合。


2021年9月22日，杨振宁在清华大学举办的“杨振宁先生学术思想研讨会——贺阳先生诞辰100周年”上发言。图片来源：清华校友会

杨振宁撰

在中国传统中，人人都说“书画同源”，即书画同源；那么我们也可以说，数学和物理在历史上也是同源的。比如微积分，当然大家都知道是数学的一个关键基础发展，它是从牛顿对万有引力的研究中发展起来的。事实上，牛顿在研究万有引力定律的时候，中间就出现了一个数学问题。他花了十多年时间解决这个数学问题。解决方案是后来的微积分。

数学分析和动力学也是一起发展的：在牛顿的工作之后，数学家和物理学家必须研究行星，研究卫星（如月球），研究当潮汐规律时，牛顿发展的微积分和定律万有引力被重新开发。一些伟大的数学家，如 Pierre-Simon Laplace 和 Joseph-Louis Lagrange，开发了数学分析和动力学，因此这两个学科也一起成长。

但自19世纪末以来，数学变得越来越抽象。 1961年，美国有一位著名的数学家，名叫马歇尔·斯通。我在芝加哥大学做研究他出生时就任芝加哥大学数学系主任，大大提升了芝加哥大学数学系的地位。所以现在芝加哥大学的人说，当时的芝加哥正处于 1950 年代和 1960 年代初期的马歇尔·斯通时代。他在1961年发表了一篇半流行的文章，其中说了几句话：“自1900年以来，数学和我们对数学的概念都发生了非常重要的变化。也就是越来越抽象），最具革命性的发展是数学根本不涉及物理世界。”明确地说（这是他所说的），“数学和物理世界是完全无关的。”他说这句话确实是当时数学发展的整体趋势。当时数学的发展就是研究一些数学结构之间相互的、非常优美的、非常微妙的关系。这是当时数学思维的主流。那个时候。所以在20世纪中叶，数学和物理完全分开了。

半个世纪前的情况与今天大不相同。我想和你谈谈的是这段分开的关系是如何重新团聚的。说起这个我们不得不回到麦克斯韦（James Clerk Maxwell）身上。麦克斯韦是 19 世纪最伟大的理论物理学家。他在 19 世纪中叶写出了著名的麦克斯韦方程。

他将之前关于电和磁的四个实验定律写成四个数学方程（如下图）。这些方程式是当今电力时代、无线电时代和网络通信时代的基础。没有这些方程式，今天的人类生活就不可能是今天的样子。

△ 麦克斯韦方程组

1915年至1916年，爱因斯坦发表广义相对论，将引力理论转变为几何理论。文章发表后，他又写了一篇文章，说还有另外一种力，也就是电磁力，它也必须几何化。

一两年后，一位名叫赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）的数学家响应了爱因斯坦的号召。威尔被大家公认为 20 世纪最伟大的数学家之一。他的工作领域是纯数学，非常抽象。但他大胆地提出了关于电磁学的理论。

1949年我去普林斯顿高等研究院做博士后，当时他是高级研究员医院里的教授，所以我见过他很多次。但当时我感兴趣的领域，以及我们这一代物理学家感兴趣的领域，与赫尔曼·威尔当时感兴趣的数学没有任何关系，所以我们只和他聊了几句。在鸡尾酒会上。 .在我的记忆中，我从未和他讨论过一些学术问题。

1918 年和 1919 年，威尔发表了多篇文章。他认为他已经想出了一种几何电磁学的方法。他首先讨论平行运动。这是爱因斯坦几何学中的一个重要概念。平行运动是什么意思？


假设我在平面上画了一个圆，从A点往回走。在A点，我画了一个向量（一个箭头），然后当我走的时候，试着让这个向量与我自己平行，这样我就往回走，当然还是在原来的方向。但这只是因为我在飞机上。如果我在一个表面上画一个圆，比如在一个球体上，从原点A开始，在那个地方放一个向量，然后在移动的时候试图让这个向量与自己平行，那么你可以想象，转之后从圆返回，向量不一定与原方向相同。因此，在曲面上，平行移动的向量可能不会回到原来的方向。

于是 Weil 问道：“Warum nicht auch seine Lnge？” （德语：为什么长度不能相同？）如果是这样，“为什么不能改变向量的长度？”也就是说，如果让向量的长度在运动过程中继续变化，则回到原点A。既然向量的方向可以不同，那么为什么它的长度不能不同呢？这是他的核心思想。为了实现这个想法，他说在下图中，从A到B，尺子沿途的长度是不断变化的。变化的因素如上图所示。他给这个因素起了一个很长的名字并翻译了它。是“比例因子”。他说这个因子中的φμ应该是电磁势eAμ。然后他说，虽然有些数量在转了一圈后发生了变化，但仍有一些数量没有变化。这些不变的量是真正的电磁现象。通过这种方式，他赋予了电磁现象以几何意义。


Weir 称他的理论为 Masstab Invarianz（尺度不变）理论。这个词后来被翻译成 Gauge Invariance（规范保持不变）。

他将文章提交给德国的普鲁士学院出版。普鲁士科学院邀请爱因斯坦审阅手稿。爱因斯坦尖锐地指出了一个大问题。他说我在A里放了两把等长的尺子，一个尺子从一条路径走到B，另一把尺子从另一条路径走到B。按照威尔的说法，当我到达B的时候，这两个尺子不是必须的长度相同。那么它原本是一个标准尺，后来哪一个被认为是标准尺呢？如果你不能做出标准尺子，你就不能做任何物理实验，整个物理就会崩溃。这真是一个尖锐的批评。


6年后，量子力学的发展解决了这个问题。量子力学与刚才提到的发展无关。量子力学是人类历史上的一场伟大革命。经过它的发展，人们发现图片被用于基础物理。我学过高中数学。恐怕我还记得这个我。它出现在量子力学之前的物理学中，但它不是基本的，它只是一种工具。量子力学发展后，它不仅仅是一个工具，而是一个基本概念。为什么基础物理学必须使用这个抽象的数学概念：虚数i，现在没有人能解释清楚。下面我必须回到这一点。

量子力学是从1925年到1926年发展起来的。一两年后，前苏联的弗拉基米尔·福克（Vladimir Fock）、德国的弗里茨·伦敦（Fritz London）分别指出，Weil原来的长名因子必须加一个i Go向上。


加一个i后，原来是尺子的长度变化。现在不是长度变化，而是相位变化，所以Weil的因子就变成了相位因子（phase factor）。加入i后，威尔的想法完全符合电磁学，从1929年就成为大家完全认同的理论。不变性理论也应该改成一个新名字：相位不变性理论，但是因为历史的关系，大家还是保留了旧名。


将长度变化改为相因数变化后，爱因斯坦的反对意见不复存在。

1929年以后，大家一致认为电磁现象非常美丽的数学观点，但并没有导致任何新的物理结果。

1946 年至 1948 年，我是芝加哥大学的研究生，我很欣赏威尔的范数不变性理论的美妙之处。我尝试将其推广，并将电磁势 Aμ 推广到 2x2 方阵 Bμ。这个想法导致了前几步的计算，非常成功，但是当它扩展到电磁场Fμν时，得出了一个冗长而丑陋的公式，所以我不得不搁置这个想法。

在接下来的几年里，人们发现了许多新的基本粒子，它们之间的相互作用成为了一个热门话题。我认为范数不变性可能是相互作用的普遍原则，所以我回到上面提到的维尔范数不变性理论的推广。这次我也遇到了同样的困难，尝试后不得不再次放弃。这每两年重复一次，但没有任何进展。

从 1953 年到 1954 年，我访问了布鲁克海文国家实验室一年，并与一位年轻的物理学家罗伯特·米尔斯共用一个办公室。让我们一起讨论这个问题。当然，我又遇到了同样的困难。不过，这次我们并没有放弃，在推进电磁场Fμν时尝试稍微修改公式。这个想法真的奏效了。几天后，用下面的公式，所有冗长的计算自然简化了，得到了一个很漂亮很简单的理论！这是现在所谓的“非阿贝尔规范理论”的雏形。


△规范论中的一个公式

我们的理论发表于 1954 年，但当时对新粒子的实验结果无法证实。十多年后，经过很多人的努力，又引入了一个新概念，叫做“对称性破碎”。将对称破缺与非阿贝尔规范理论相结合是赶上实验的唯一途径。在接下来的几十年里，数千次实验证实了这一理论与实验完全相符。它今天被称为标准模型，是基础物理学的重要基石。今年即将在瑞士日内瓦建成的大型强子对撞机是研究标准模型的最新大型设备。

在1970年代，我总结了所有这些发展的精神，说这就是“对称决定交互”：因为常数规范实际上是一种对称，一种带圆的对称，晶体对称性、左右对称性等概念类似，但它们更深、更抽象的对称性。

1969 年，当我在纽约州立大学石溪分校任教时，我教了一个学期的广义相对论。有一天，我在黑板上写下了广义相对论中著名的黎曼张量公式。当时我觉得有点像我熟悉的上面的公式。课后，我仔细对比了两者，最后发现两者不仅相似，而且完全相同，前提是一些数学符号正确对应。


△上面是规范理论公式，下面是广义相对论中的黎曼张量公式。两者完全相同。

这个发现让我震惊：原来的规范论和广义相对论的数学结构竟然如此相似！我立即到楼下的数学系找了系主任吉姆·西蒙斯（Jim Simons）。他是我的好朋友，但我们以前从未讨论过数学。那天他告诉我，这两者是不同的“纤维束”并不奇怪，这是自 1940 年代以来数学上的一个热门新发展！

之后，西蒙斯花了两个多星期的时间向我们几个物理学家解释了纤维丛理论。了解了纤维丛的数学意义后，我们知道它是一门非常博大精深的知识，电磁学中的许多物理概念原本就有纤维丛的对应概念。于是在1975年，我和吴大军合写了一篇文章，用物理学的语言解释了电磁学与数学家纤维丛理论的关系。在文章中我们列出了一个表格，它是一个“字典”。表格左边是电磁学的名词（即规范论），右边是纤维丛的对应名词。

左边的词典里有“来源”，右边却没有对应，因为西蒙斯说纤维丛理论中没有这个概念。随后，美国麻省理工学院数学家伊莎多尔·辛格访问了纽约州立大学石溪分校。我和他谈过了。然后他去了英国的牛津大学，带着吴大军和我的文章，和Michael Atiyah和Nigel Hitchin写了一篇关于“无源”的文章。由于他们在数学界享有盛誉，规范场和纤维丛之间的密切关系传遍了整个数学界，这引起了随后几年物理与数学重新合作的高潮。

今天没有人会说“数学与物理世界完全无关”。但为什么与物理世界无关的“自然而真实”的数学概念如此“对称”，从而“主宰”宇宙中所有的基本“力量”，恐怕永远是个谜。